SISTEM DAN VOLUME KENDALI

Suatu sistem menunjuk suatu massa bahan yang tertentu serta membedakannya dari semua zat lainnya, yang disebut lingkungunnya. Batas suatu sistem membentuk permukaan tertutup. Permukaan ini dapat berubah dengan waktu, sedemikian hingga permukaan tersebut melingkupi massa yang sama selama terjadi perubahan-perubahan terhadap kondisinya. Sebagai contoh, misalkan sebuah siiinder berisi satu kilogram gas dan gas ini dimampatkan oleh gerakan torak; maka batas sistem yang berimpit dengan ujung torak tersebut bergerak bersama torak itu. Sistem itu dapat berisi massa yang takhingga atau massa terbatas yang besar dan terdiri dari fluida-fluida serta zat-zat padat menurut kehendak si peneliti,

Hukum kekekalan massa menyatakan bahwa massa di dalam suatu sistem adalah tetap konstan terhadap waktu (jika kita mengabaikan pengaruh relativitas). Dalam bentuk persamaan

(3.2.1)

di sini m ialah massa total.

 Biasanya hukum Newton yang kedua tentang gerakan dinyatakan untuk suatu sistem sebagai

  (3.2.2)

dalam hal ini harus kita ingat bahwa m ialah massa sistem yang konstan.menunjukkan resultane semua gaya luar yang bekerja pada sistem, termasuk gaya-gaya badan seperti gaya berat, dan v ialah kecepatan pusat massa sistem.

Suatu volume kendali menunjuk suatu daerah di dalam ruang dan bermanfaat dalam analisis terhadap situasi-situasi dengan terjadinya aliran ke dalam serta keluar dari ruang tersebut. Batas suatu volume kendali adalah permukaan kendalinya.Ukuran serta bentuk volume kendali adalah sepenuhnya sembarang, tetapi acapkali sebagian demi sebagian dibuat berimpit dengan batas-batas benda padat; di bagian-bagian lainnya digambarkan tegak lurus terhadap arah aliran demi penyederhanaan. Pengertian volume kendali digunakan dalam penurunan persamaan kontinuitas, persamaan momentum, dan persamaan energi. Volume kendali juga disebut sistem terbuka. Bagaimanapun sifat allrannya, semua situasi aliran harus memenuhi hubungan-hubungan sebagai berikut, yang dapat dinyatakan dalam bentuk analitik :

1. Hukum-hukum Newton tentang gerakan, yang harus berlaku untuk tiap partikel pada setiap saat.

2. Hubungan kontinuitas, yaitu hukum kekekalan massa.

3. Hukum pertama dan hukum kedua dari termodinamika.

4. Syarat-syarat batas, yaitu pemyataan-pernyataan bahwa suatu fluida-nyata mempunyai kecepatan relatif terhadap suatu batas sebesar nol pada batas atau bahwa fluida tanpa-gesekan tidak dapat menembus batas.

Dapat pula berlaku hubungan-hubungan dan persamaan-persamaan lainnya, seperti persamaan keadaan atau hukum Newton tentang viskositas. Dalam penurunan di bawah ini pengertian volume kendali dihubungkan dengan sistem bagi suatu sifat umum sistem itu. Kemudian hubungan tersebut diterapkan secara khusus untuk memperoleh hubungan kontinuitas, hubungan energi, dan hubungan momentum linear.

Guna merumuskan hubungan antara persamaan-persamaan yang diterapkan pada suatu sistem dan persamaan-persamaan yang diterapkan pada suatu volume kendali, suatu situasi aliran umum ditunjukkan pada Gb. 3.3, dimana diketahui kecepatan fluida relatif terhadap suatu sistem koordinat x,y,z. Pada waktu t, suatu massa fluida tertentu yang terdapat dalam suatu sistem, yang mempunyai batas yang ditunjukkan dengan garis titik-titik. Ditunjukkan pula suatu volume kendali, yang mempunyai posisi yang tetap relatif terhadap sumbu- sambu xyz, dan yang tepat berimpit, dengan sistem tersebut pada waktu t. Pada waktu t + δt sistem itu telah bergerak sedikit, karena tiap partikel massa bergerak dengan kecepatan yang berkaitan dengan lokasinya. Misalkan N ialah jumlah total suatu sifat (massa, energi, momentum) di dalam sistem itu pada waktu t, dan misalkan η ialah jumlah sifat ini, per massa satuan, di seluruh fluida. Laju pertambahan N terhadap waktu untuk sistem tersebut kini akan dirumuskan dalam besaran-besaran untuk volume kendali.

Pada t + δt, Gb. 3.3b, sistem terdjri dari volume II dan III, sedangkan pada waktu t sistem itu menempati volume II, Gb. 3.3a. Pertambahan sifat N di dalam sistem tersebut dalam waktu δt diberikan oleh

Di sini d ialah elemen volume. Dengan penambahan serta pengurangan

Di ruas kanan, penyusunan kembali, dan kemudian pembagian seluruhnya dengan δt, maka diperoleh

Suku ruas kiri adalah laju pertambahan rata-rata terhadap waktu untuk N di dalam system tersebut selama waktu δt. Dalam limit untuk δt mendekati nol besaran ini menjadi dN/dt. Jika kita mengambil limit untuk δt mendekati nol lagi suku pertama di ruas kanan persamaan, kedua integral yang pertama adalah jumlah N di volume kendali pada t + δt dan integral yang ketiga adalah jumlah N di volume kendali pada waktu t. limitnya adalah

Dan diferensial parsial diperlukan karena volume ditahan konstan (volume kendali) pada pengambilan  δt-0.

Gambar 3.3. Sistem dengan volume kendali yang identik pada waktu t dalam medan kecepatan

Suku berikutnya, yang merupakan laju aliran terhadap waktu untuk N yang keluar dari volume kendali, dalam limitnya dapat ditulis

Di sini dA, Gb. 3.3c adalah vector yang menunjukkan suatu elemen luas permukaan aliran keluar. Vector ini mempunyai arah tegak lurus terhadap elemen luas permukaan volume kendali, dengan arah keluar bertanda positif; α ialah sudut antara vector kecepatan dan vector elemen luas permukaan.

Demikian pula, suku terakhir dalam persamaan (3.2.3),yang merupakan laju aliran N ke dalam volume kendali, dalam limitnya adalah

Tanda minus diperlukan karena v.dA (atau cos α) adalah negative untuk aliran masuk, Gb.3.3d. Kedua suku terakhir persamaan (3.2.3) yang diberikan oleh persamaan (3.2.4) dan (3.2.5), dapat digabung menjadi satu suku yang merupakan integral pada seluruh permukaan volume kendali (pk)

Bila tidak terdapat aliran masuk atau keluar, v.dA=0; maka dari itu persamaan tersebut dapat ditentukan nilainya untuk seluruh permukaan kendali

Dengan mengumpulkan suku-suku persamaan (3.2.3) yang telah dikembangkan, kita mendapat

Dengan kata-kata, persamaan (3.2.6) menyatakan bahwa laju pertambahan terhadap waktu untuk N di dalam suatu system adalah tepat sama dengan laju pertambahan terhadap waktu untuk sifat N di dalam volume kendali tersebut (yang posisinya terhadap xyz adalah tetap) ditambah dengan laju bersih aliran keluar N melintasi batas volume kendali itu.

Karena kerangka acuan xyz dapat diberi sembarang kecepatan konstan tanpa mempengaruhi dinamika system serta lingkungannya, maka persamaan (3.2.6) berlaku jika volume kendali, yang bentuk serta ukurannya tetap, mempunyai kecepatan translasi yang konstan