Belajar Sepanjang Hayat

TUGAS I Komputasi Teknik

1. Mencari akar persamaan pangkat tiga menggunakan metode Newton-Rhapson

a. Buat Persamaan:

x³+2x+5=0

b. Membuat plot grafik dengan Matlab dengan command sebagai berikut:

p=[1 0 2 5];

x=linspace(-2,2,100); %Specifies 100 values between -2 and 2

y=x.^3+2.*x+5;plot(x,y);grid %The dot exponentiation is a must

Menghasilkan grafik sebagai berikut:

c. Berdasarkan grafik di atas, tebakan awal nilai yang ada, x0 = -1,3

d. Mencari akar persamaan dengan menggunakan metode Newton-Rhapson dengan command sebagai berikut:

p=[1 0 2 5];x0=-1.3

q=polyder(p)

x1=x0-polyval(p,x0)/polyval(q,x0)

y1=polyval(p,x1)

n=1

while 1

x1=x0-polyval(p,x0)/polyval(q,x0)

y1=polyval(p,x1)

x0=x1

n=n+1

if(n>=100)

break;

end

sehingga di dapatkan hasil sebagai berikut:

x0 =

-1.3000

q =

3 0 2

x1 =

-1.3287

y1 =

-0.0032

n =

x1 =

-1.3287

y1 =

-0.0032

x0 =

-1.3287

n =

e. Untuk mengecek apakah benar x = -1,3287, maka di tes dengan memasukkan

x0 = -1,3287

hasilnya:

x0 =

-1.3287

q =

3 0 2

x1 =

-1.3283

y1 =

-7.4053e-007

n =

x1 =

-1.3283

y1 =

-7.4053e-007

x0 =

-1.3283

n =

Dicoba lagi dengan memasukkan x0 = -1,4

Hasilnya:

x0 =

-1.4000

q =

3 0 2

x1 =

-1.3310

y1 =

-0.0197

n =

x1 =

-1.3310

y1 =

-0.0197

x0 =

-1.3310

n =

Dicoba lagi dengan memasukkan x0 = -1,3310

Hasilnya:

x0 =

-1.3310

q =

3 0 2

x1 =

-1.3283

y1 =

-2.9675e-005

n =

x1 =

-1.3283

y1 =

-2.9675e-005

x0 =

-1.3283

n =

Dari hasil iterasi di atas, dengan mencoba memasukkan tebakan awal x0 = -1,3287 dan x0 = -1,3310 ternyata memberikan hasil yang sama, yaitu nilai X konvergen mulai dari iterasi ke dua (n = 2) dengan nilai x0 = x1 = -1,3283

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa:

akar dari persamaan x³+2x+5=0 adalah -1,3283

2. Metode mencari akar selain Newton-Rephson dan bisection

a. Metode Posisi Salah atau Palsu/Regula Falsi/Interpolasi Linier

Walaupun bagidua merupakan suatu teknik sempurna yang berlaku secara sempurna untuk menentukan akar-akar,pendekatan “paksa besarnya”-nya relative kurang efisien. Posisi salah merupakan suatu alternative perbaikan berdasarkan suatu pengertian grafik.

Kelemahan metode bagidua ialah dalam membagi interfal dari x_I hingga x_u ke dalam paruhan-paruhan yang sama, tidak ada perhitungan mengenai besar harga f(x_I) dan f(x_u). Misalnya jika f(x_I) lebih mendekati nol daripada f(x_u), tampaknya akar menjadi lebih dekat ke x_I daripada ke x_u (Gambar 1). Suatu metode alternative yang menggali pengertian grafik ini ialah dengan menggabungkan titik-titik oleh sebuah garis lurus. Perpotongan dari garis ini dengan sumbu x menyatakan sebuah taksiran perbaikan dari akar. Ternyata penempatan kembali kurva oleh sebuah garis lurus memberikan suatu “posisi salah” nama aslinya adalah metode posisi salah atau regulasi falsi dalam bahasa latin. Metode ini juga dinamakan metode interpolasi linier.

Gambar 1. Suatu penjelasan grafik dari metode posisi palsu. Segitiga serupa yang digunakan untuk menurunkan formula buat metode tersebut adalah yang diarsir

Dengan memakai segitiga yang serupa (Gambar 1), perpotongan garis lurus dengan sumbu x dapat ditaksir sebagai:

Diturunkan menjadi

Bentuk ini adalah suatu bentuk metode posisi palsu. Bentuk ini memungkinkan komputasi akar x_r sebagai fungsi tebakan terbawah dan teratas x_I dan x_u. Bentuk ini dapat dinyatakan dalam bentuk lain dengan menguraikan:

Persamaan ini adalah formula posisi salah. Harga x_r dihitung dengan persamaan ini, lalu bila perlu menggantikan salah satu tebakan awal x_I atau x_u yang memenuhi sebuah harga fungsi dengan tanda yang serupa seperti f(x_r). Dengan cara ini harga-harga x_I dan x_u selalu mengurung akar sebenarnya. Proses tersebut diulangi sampai akar ditaksir secara layak.

Algoritma dari metode metode posisi salah/palsu:

· Pilih taksiran terendah x_I dan tertinggi x_u untuk akar agar fungsi berubah tanda sepanjang interval. Ini dapat diperiksa dengan meyakinkan bahwa f(x_I) f(x_u) < 0

· Taksiran pertama akar xr ditentukan oleh:

· Buat evaluasi berikut ini untuk menentukan subinterval, di dalam mana akar terletak:

ü Jika f(x_I) f(x_r) < 0, akar terletak pada subinterval pertama, maka x_u=x_r dan lanjutkan langkah ke 4.

ü Jika f(x_I) f(x_r) > 0, akar terletak pada subinterval kedua, maka x_I=x_r dan lanjutkan langkah ke 4.

ü Jika f(x_I) f(x_r) = 0, akar = x_r hentikan komputasi.

· Hitung taksiran baru akar dengan:

· Putuskan apakah taksiran baru cukup akurat sesuai kebutuhan. Jika “ya”, hentikan komputasi. Jika “tidak”, kembali ke langkah 3

b. Metode Iterasi Satu Titik Sederhana

Metode iterasi satu titik sederhana mengembangkan formula untuk meramalkan sebuah taksiran akar dengan cara mengatur kembali fungsi f(x) = 0 sedemikian sehingga x berada pada ruas kiri persamaan:

x = g(x) (1)

Transformasi ini dapat dikerjakan dengan manipulasi aljabar atau dengan penambahan sederhana x ke kedua ruas persamaan semula.

Misalnya :

· x² – 2x + 3 = 0

Dapat dimanipulasi secara mudah menjadi:

· Sin x = 0

Dimasukkan ke dalam bentuk persamaan (1) dengan menambahkan x pada kedua ruas menjadi:

x = sin x + x

manfaat persamaan (1) ialah memberikan sebuah rumus untuk meramalkan sebuah harga dari x, sebagai fungsi dari x. jadi dengan diberikannya sebuah tebakan awal pada akar x_i, persamaan (1) dapat digunakan untuk menghitung suatu taksiran baru x_i + 1, seperti dinyatakan oleh rumus iterasi:

x_i+1 = g(x_i) (2)

atau

x_i = g(x_i-1)

kesalahan aproksimasi bagi persamaan ini dapat ditentukan dengan memakai penaksir kesalahan:

Algoritma dari metode iterasi sederhana:

· Definisikan f(x) dan g(x)

· Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)

· Tentukan pendekatan awal x

· Untuk iterasi = 1 s/d n atau f(x) > e

x_i = g(x_i-1)

Hitung f(x_i)

· Akar persamaan adalah x terakhir yang diperoleh

c. Metode Secant

Masalah potensial dalam melaksanakan metode Newton Raphson adalah evaluasi turunan. Ada beberapa fungsi yang turunannya terlalu sukar dievaluasi. Untuk kasus-kasus ini, turunan tersebut dapat didekati oleh suatu diferensi terbagi hingga: