ONE-DIMENSIONAL STEADY STATE DIFFUSION

Contoh 4.1

Berikut ini adalah sebuah proses konduksi panas tanpa sumber dalam batang terisolasi yang ujungnya dipertahankan pada temperatur konstan 100 ° C dan 500 ° C. Masalah satu dimensi ditunjukkan pada Gambar 4.3

Gambar 4.3

diatur oleh persamaan perhitungan distribusi temperatur kondisi tunak pada sebuah batang.

Persamaan (4.13)

Konduktivitas termal k sama dengan 1000 W/m/K, luas penampang A adalah 10 x 10 ^-3 m ² .

Solusi:

Panjang batang dibagi menjadi 5 volume control yang sama (gambar 4.4) sehingga ?x = 0.1 m.

Gambar 4.4

Grid ini terdiri dari lima node. Untuk setiap satu dari node 2, 3 dan 4 nilai suhu ke timur dan barat tersedia sebagai nilai nodal. Akibatnya, persamaan terdiskritisasi dari bentuk (4 .10) dapat langsung ditulis untuk volume kontrol di sekitar node- node ini:

Konduktivitas termal (k_e = k_w = k), jarak antar node ( ?x) dan luas penampang (A_e = A_w = A) adalah konstanta. Oleh karena itu persamaan discretised untuk titik-titik nodal 2, 3 dan 4 adalah

Dengan

S _u dan S _p adalah nol dalam kasus ini karena tidak ada suku sumber dalam aturan persamaan (4.13).

Node 1 dan 5 adalah node batas, dan karena itu memerlukan perhatian khusus. Integrasi persamaan (4.13 ) di sepanjang volume control di sekitar titik 1 memberikan

Pernyataan diatas menunjukkan bahwa fluks melalui volume control sempadan A telah didekati dengan mengasumsikan hubungan linear antara temperatur pada sempadan titik A dan titik P. Kita bisa menata kembali (4.16) sebagai berikut:

Dengan m embandingkan persamaan (4 .17) dengan persamaan (4.10 ), dapat dengan mudah diidentifikasi bahwa suhu tetap kondisi sempadan masuk perhitungan sebagai istilah sumber (S _u + S_pT_p ) dengan S _u = (2 KA/? x ) TA dan S _p = - 2 KA/? x dan bahwa hubungan ke barat sisi boundary telah ditindas dengan menetapkan koefisien a_w nol. Persamaan (4 .17) dapat dikeluarkan dalam bentuk yang sama seperti (4 .11) untuk menghasilkan persamaan terdiskritisasi untuk sempadan node 1:

dengan

Volume control di sekitar node 5 dapat diperlakukan dengan cara yang sama. persamaan terdiscretisasi diberikan sebagai:

Seperti sebelumnya kita asumsikan distribusi temperatur linier antara node P dan sempadan titik B mendekati fluks panas melalui sempadan volume kontrol. Persamaan (4 .19) dapat diatur kembali sebagai

Persamaan terdiskritisasi untuk sempadan node 5 adalah

Dimana

Proses diskritisasi telah menghasilkan satu persamaan untuk setiap titik nodal 1 sampai 5. Substitusi nilai numerik memberikan kA / ?x = 100 dan koefisien dari masing-masing persamaan terdiskritisasi dapat dengan mudah dikerjakan di luar. Nilai-nilai mereka diberikan dalam Tabel 4.1.

Hasil setting persamaan aljabar untuk contoh ini adalah:

Setting persamaan aljabar linier tersebut dapat diatur dalam bentuk matrik:

Untuk T_A = 100 dan T_B = 500, dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss diperoleh nilai T₁, T₂, T₃, T₄ dan T₅ sebagai berikut

Solusi analitis atau solusi exactnya adalah distribusi linier di antara temperature sempadan yang ditentukan dengan cara mengintergrasikan persamaan (4.13)

dengan aplikasi berikutnya pada kondisi sempadan:

T(x = 0) = T_A dan T (x = L) = T_B

maka diperoleh persamaan:

     T = 800x + 100.

Gambar 4.5 menunjukkan hasil solusi exact dan hasil numerik secara berimpit .

Gambar 4.5. Perbandingan Hasil Numerik dengan Solusi Analitis