ONE-DIMENSIONAL STEADY STATE (example 4.2)

 

Contoh 4.2

Gambar 4.6 menunjukkan pelat yang luas dengan ke tebal an L = 2 cm dengan konduktivitas termal konstan k = 0,5 W /m / K dan pembangkitan panas yang seragam q = 1000 kW/m ² . Suhu pada permukaan A= 100 ° C dan permukaan B= 200 ° C. Dengan asumsi bahwa dimensi dalam arah y-dan z sangat besar sehingga gradien suhu signifikan dalam arah-x saja, hitung distribusi suhu pada keadaan stedi . Bandingkan hasil numerik dengan solusi analitis. Persamaannya adalah

Gambar 4.6

Solusi

Seperti sebelumnya metode dari solusi ini ditunjukkan menggunakan grid sederhana. Domain tersebut dibagi menjadi lima volume kontrol (lihat Gambar 4.7)x = 0.004 m; a area unit dianggap pada bidang-y z.

integrasi formal dari persamaan pengatur atas volume atur memberikan

Integral kedua, istilah sumber dari persamaan dievaluasi dengan menghitung rata-rata pembangkitandalam setiap volume control. Persamaan (4.26) dapat ditulis menjadi:

Persamaan ini di tulis dalam bentuk umum persamaan (4.11):

Selama k_e=k_w=k, kita memiliki koefisien sebagai berikut:

Persamaan (4.30) valid untuk volume control pada titik node 2, 3 dan 4

Untuk memasukkan kondisi batas pada node 1 dan 5 kita menerapkan pendekatan linier untuk suhu di antara titik sempadan dan titik nodal yang berdekatan. Pada node 1 suhu di sempadan barat dik etahui . Integrasi persamaan (4 .25) pada volume control sekitar node 1 :

Pendekatan linier untuk temperature di antara A dan P

Persamaan di atas dapat disusun kembali menggunakan k_e = k_A = k, untuk menghasilkan persamaan terdiskritisasi untuk sempadan node 1:

Dimana

Sedangkan untuk titik node 5

Persamaan di atas dapat disusun kembali menggunakan k_B = k_w = k, untuk menghasilkan persamaan terdiskritisasi untuk sempadan node 5:

Dimana

Substitusi dari nilai-nilai numeric untuk A=1, k=0.5 W/m/K, q=1000kW/m³ danx=0.004 m dimana memberikan koefisien-koefisien dari persamaan terdiskritisasi yang diringkas dalam table 4.2

Table 4.2

Dapat diberikan dalam bentuk matrik:

Solusi dari persamaan di atas adalah

Perbandingan dengan solusi analitis

Solusi analitis untuk masalah ini dapat diperoleh dengan mengintegralkan persamaan (4 .25) dua kali terhadap x dan dengan penerapan berikutnya dari kondisi batas . Ini memberikan

Perbandingan antara solusi volume hingga dan solusi exact ditampilkan pada Tabel 4.3 dan Gambar 4.8 dan dapat dilihat bahwa, meskipun dengan grid kasar lima node, kesepakatan ini sangat bagus.

Table 4.3

Gambar 4.8. Perbandingan Hasil Numerik dengan Solusi Analitis